Выпускная квалификационная работа (дипломная работа)




НазваниеВыпускная квалификационная работа (дипломная работа)
страница1/3
Дата конвертации25.04.2013
Размер42.4 Kb.
ТипРеферат
  1   2   3
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА (дипломная работа)
на тему:




«Функциональный метод решения неравенств»

Содержание
Введение
Основная часть. Решение неравенств с использованием свойств функции § 1 Линейные неравенства
§ 2 Квадратичные неравенства
§ 3 Иррациональные неравенства
§ 4 Показательные неравенства
§ 5 Логарифмические неравенства
§ 6 Некоторые лжепреобразования
Заключение
Литература

Введение.
Неравенства играют важную роль в курсе математики средней школы. Это сравнительно новая тема, которая ранее не входила в школьный курс математики и, на данном этапе, недостаточно разработана.
Современные школьники начинают знакомиться с неравенствами еще в начальной школе, где используются задания вида: «сравнить числа», «сравнить значения выражений», «сравнить выражения не вычисляя их значения», решают логические задачи, предполагающие составление числовых неравенств.
Далее содержание темы «Неравенства» постепенно углубляется и расширяется. Так, например, процентное содержание неравенств от всего изучаемого материала в 7 классе составляет 20%, в 8 классе – 25%, в 9 классе – 30%, в 10-11 классах - 38%.
В школьном курсе алгебры изучаемы классы неравенств можно разбить на группы.

















Первая группа получает достаточное развитие, вплоть до формирования прочных навыков решения, уже в курсе алгебры неполной средней школы.
Остальные же группы неравенств в этом курсе только начинают изучаться, причем рассматриваются далеко не все классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и началах анализа 10-11 классов. Изучаются только неравенства основных классов, кроме того, ряд задач из школьного курса сводятся к составлению и решению неравенств: нахождение области определения функции; исследование функции (монотонность, ограниченность функции).
При изучении неравенств значительное внимание уделяется вопросам обоснования процесса решения конкретных задач. На начальных этапах изучения курса алгебры эти обоснования имеют эмпирический, индуктивный характер. Затем, по мере накопления опыта решения неравенств различных классов, все большую роль приобретает дедуктивное обоснование процесса решения.
Наконец, достигнутый уровень владения различным способами решения позволяет выделить наиболее часто используемые преобразования: равносильность и логическое следование.
Кроме того, в ходе изучения неравенств широко используется метод интервалов, наглядно-графический метод и функциональный метод. Наглядно-графический метод применяют, если неравенство нельзя решить аналитически. Под функциональным методом решения неравенств понимают метод решения, опирающийся на использование свойство функций, входящих в неравенство.
Именно изучение роли функционального метода решения неравенств является целью этой работы.
Функциональный метод используется:
1) в обосновании классических методов решения неравенств (теорем равносильности, методов интервалов);
2) используется для решения задач, которые другими методами решить нельзя;
3) некоторые задачи можно решить разными способами, но более рациональным методом является функциональный;
4) при решении неравенств, которые являются математической моделью других задач: нахождение области определения, множества значений функций, нахождение интервалов монотонности.
Решение неравенств, отражающееся на функциональный метод, достаточно нетрадиционно и является творческой задачей.
Задача этой работы обеспечить более полное раскрытие применения функционального метода к решению неравенств, от простых до сложных.

§ 1 Линейные неравенства
С алгоритмом решения линейных неравенств учащиеся знакомятся в VII классе, после изучения соответствующего вида уравнений и свойств линейной функции.
Решение линейных неравенств основывается на свойствах числовых неравенств. Но можно использовать и графическую интерпретацию. Приведем таблицу зависимости расположения графика линейной функции от значений коэффициентов а и b.
































Тогда получаем для неравенства вида:
1) ах > b
(1) При а < 0 и , , т.е. ;
(2) При и , ;
(3) При и , решений нет;
(4) При и , .
2)
(1) При и , ;
(2) При и , ;
(3) При и , решений нет;
(4) При и , .
3)
(1) При и , , т.е. ;
(2) При и , ;
(3) При и , решений нет;
(4) При и , , .
Аналогично для неравенств вида , .
Рассмотрим несколько задач, связанных с решением линейных неравенств.
Пример.
При всех значениях параметра а решить неравенство .
Решение.
После элементарных преобразований получим:
,
.
Далее рассмотрим три случая:
а) если , то есть , то лишь в том случае, когда ;
б) если , то есть , то в том случае, если ;
в) если , то неравенство примет вид , т.к. это истинное числовое неравенство, то из этого следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства. Получаем ответ:
при ;
при ;
при
Многие задачи в математике приводят к необходимости решать систему линейных неравенств. Например, чтобы найти область определения выражения , надо решить систему ; чтобы найти множество решений неравенства , надо решить системы

Поэтому специальное внимание в курсе алгебры уделяется системам линейных неравенств с одной переменной.
Рассмотрим пример, требующий составления систем неравенств.
Пример.
Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения удовлетворяют условию .
Решение.
Из области определения уравнения следует, что и . Преобразуем данное уравнение: или .
При уравнение корней не имеет. Пусть теперь и , тогда . Используя условие , составим и решим систему неравенств:

Решим полученную систему методом интервалов (рис.1)

Ответ: .
Пример.
Найдите значение параметра а, при котором наибольшее отрицательное решение неравенства равно -5.


Решение.
Представим данное неравенство в виде или . Рассмотрим функции и .
Функция - линейная, ее графиком является прямая линия, параллельная оси ОХ. Поострим график функции (Рис.4).
Так как данное неравенство должно иметь отрицательные решения, то прямая должна пересекать график функции при , причем прямая должна лежать ниже гиперболы, и так как -5 – это наибольшее отрицательное решение неравенства, то - это абсцисса точки пересечения графиков функций и .
Найдем : , . Таким образом, при а = 6 наибольшее решение неравенства равно -5.
Ответ: а = 6.



Рассмотрим теперь аналогичный метод решения последней задачи.
Пример.
Найдите значение параметра а, при котором наибольшее отрицательное решение неравенства равно -5.
Решение.
Так как -5 – решение, то оно должно обращать неравенство в верное, тогда , , отсюда , т.е. наибольшее решение неравенства - а = 6.
Ответ: а = 6.
Пример.

1. Рассмотрим функцию (Рис.1)
2. Из графика функции очевидно, что функция положительная при всех х, и потому ее можно не учитывать.
3. Решим неравенство .
4. Функции и очевидно, монотонны.
5. Построим график функции (рис.2).
6. Из графика функции очевидно, что она монотонна и принимает положительные значения на промежутке .
7. Таким образом, в числителе и знаменателе дроби мы имеем три монотонных функции, обращающиеся в нуль соответственно в точках -3, 2, 3.
8. Эти три точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: , , , , на последнем из которых (рис.3).
9. Следовательно, неравенство имеет место при , а также .
Ответ:
Таким образом, при решении линейных неравенств можно использовать свойства линейной функции, а также использовать графическую интерпретацию решений линейных неравенств.

§2 Квадратичные неравенства.
Ранее при решении квадратичных неравенств в школьном курсе использовалась методика, по которой решение неравенств вида 0 основывалась на результате исследования квадратного трехчлена, полученного путем довольно сложных аналитических рассуждений.
Принципиально иная методика изложения вопроса о решении неравенств второй степени с одной переменной предлагается сейчас в VIII классе. При решении неравенств вида 0 используются соображения о расположении графика квадратичной функции относительно оси ОХ, которое определяется двумя условиями:
1) является ли значение дискриминанта D квадратичного трехчлена положительным числом, нулем или отрицательным числом;
2) Какой знак коэффициента а.
Изобразим схематически возможные случаи расположения графика квадратичной функции в зависимости от а, D.


















В результате определенной тренировки учащиеся привыкают пользоваться такой системой, а затем ее мысленным образом.
Аналогично можно составить схему решений неравенства вида




















Заметим, что для использования графических соображений нет необходимости изображать параболы, достаточно мысленно представить, как расположена эта парабола в координатной плоскости.
Пусть, например, требуется решить неравенство . Вычислив дискриминант D трехчлена , находим, что D = 9, т.е. D > 0. Значит, парабола пересекает ось ОХ в двух точках. Чтобы найти абсциссы этих точек, вычисляем корни трехчлена, они равны 0,5 и 2. Учитывая, что ветви параболы направлены вверх и что парабола пересекает ось Х в точках 0,5 и 2, изображаем ее схематически (или мысленно представим). Используя рисунок устанавливаем, что множество решений неравенства есть .
Приведем решение одного неравенства, которое развивает у учащихся навыки работы с квадратичными неравенствами.
Пример.
При каком условии решения неравенства находятся между корнями квадратного трехчлена ?
Решение.
Рассмотрим функцию . Графиком функции является парабола.
1) если , то ветви параболы направлены вверх.
а. Если , то парабола имеет с осью ОХ две точки пересечения, значит, решением неравенства являются значения , но они не удовлетворяют поставленной задаче.
б. Если , то парабола не имеет с осью ОХ точек пересечения. Решением неравенства являются все действительные числа, что опять не удовлетворяет условию.
2) Если , то ветви параболы направлены вниз.
а. Если , то решений нет.
б. Если , то решений нет.
в. Если , то - эти значений удовлетворяют условию задачи.
Значит, при , решения неравенства находятся между корнями квадратного трехчлена .
Ответ: при , .
Перейдем к рассмотрению конкретных примеров.
Пример.
Для каждого значения а решите неравенство
Решение.


или ;
или .
При При .
Рассмотрим функцию . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
1) Если , то неравенство .

2) Если и , то


3) если и , то график функции имеет вид


4) Если , то неравенство решений не имеет

Ответ: при и , ;
при и , .
Рассмотрим примеры решений более сложных неравенств.
Пример.


Решение.
1.Построим графики функций и
2. Решением неравенства являются действительные числа х, для которых график функции расположен выше графика функции .
3. Из рассмотрения рисунка следует, что решениями неравенства являются все числа х из интервала Ответ: .



Пример.
Найти все значение параметра q, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит не одного решения неравенства .
Решение.

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:
1) и 2)

Изобразим на плоскости хОq решение этих систем (рис.2).
Множество значений является решением неравенства . Поэтому необходимо, чтобы полученные решения неравенств не лежали в полосе .
Из графика (рис.2) видно, что при и решения неравенств не лежат в полосе .
Ответ: при исходное неравенство не содержит ни одного решение неравенства .
Пример 3.
Найти все значения параметра а, при которых неравенство имеет хотя бы одно отрицательное значение.
Решение.
Решим эту систему графически. Для этого в системе координат хОа построим графики функций:
1) , координаты вершины ;
2) , координаты вершины .
Так как решения неравенства, согласно условию, должны быть отрицательны, то из построенного графика (рис.3) видно, что .
Ответ: .



Рассмотрим еще один пример применения квадратичных неравенств для решения уравнений.
Пример.
Сколько корней больших -1, в зависимости от параметра а, имеет уравнение ?
Решение.
Для оценки существования решения уравнения найдем его дискриминант: или . Рассмотрим функцию: . Так как коэффициент при равен 1, то есть ветви параболы направлены вверх, то, используя таблицу 1, получим 2 случая.
1. Уравнение будет иметь корень больше -1, если выполняются условия:
1) , (рис.1)
или ,
отсюда .
Учитывая найденные значения, получим систему:

Отсюда .
2) (рис.2)

Отсюда .
Итак, уравнение имеет один корень, больший -1, при или .

2. Уравнение будет иметь два корня, больших -1 (рис.3), если Отсюда
Значит уравнение имеет два корня, больших -1, при .
Ответ: при или один корень;
при два корня;
при уравнение не имеет корней, больших -1.
Пример 3.
Найдите все пары чисел р и q, при которых неравенство не имеет решений на отрезке .
Решение.
Сформулируем задачу в позитивной форме:
Найдите все пары чисел р и q, при которых на отрезке справедливо неравенство . Иначе говоря, необходимо так разместить параболу на координатной плоскости, чтобы ее ветви пересекали только боковые стороны квадрата , то есть отрезки и (см. рис.1).
Такое геометрический подход позволяет встать на иную точку зрения. Вспомним, что график функции получается из графика параллельным переносом (ведь ). Значит, вместо переноса параболы , можно переносить квадрат К.
Теперь становится ясным, что единственное возможное положение квадрата относительно параболы , удовлетворяющее условию задачи, изображено на рис.2.

Итак, .
Обоснуем аналитически полученное геометрическое решение.
Для этого используем следующий факт: если справа (слева) от вершины параболы , взять такие точки и , что , то .
Например, если и , то . .
Если теперь , то слева или справа от точки на отрезке найдутся такие две точки и , что . Но, по условию задачи, и , следовательно . Итак, доказано, что . Но тогда ; ,

Достаточно непосредственной проверкой установить, что при выполняется условие задачи.
Ответ: .
Таким образом, полезную роль при решении квадратичных неравенств играет знание наглядных свойств квадратичной функции: симметричности параболы и корней функции относительно вертикальной прямой , проходящей через вершину параболы; направление ветвей параболы, зависящего от знака коэффициента а; монотонности на промежутках , и непрерывности этой функции.

  1   2   3

Похожие:

Выпускная квалификационная работа (дипломная работа) iconВыпускная квалификационная работа специалиста (дипломная работа) на тему
Федеральное агентство по образованию федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования...
Выпускная квалификационная работа (дипломная работа) iconВыпускная квалификационная работа поле запаха в немецком языке
Заключение
Выпускная квалификационная работа (дипломная работа) iconВыпускная квалификационная работа
Студент (ка): Болдилов Владимир Николаевич / / Ф. И. О. подпись
Выпускная квалификационная работа (дипломная работа) iconТематическое планирование факультатива
Кафедра романо-германских языков и методики обучения выпускная квалификационная работа
Выпускная квалификационная работа (дипломная работа) iconВыпускная квалификационная работа
Способы выражения сомнения в современном немецком языке (на материале немецкого и русского языков)
Выпускная квалификационная работа (дипломная работа) iconВыпускная квалификационная работа Нетрадиционные формы урока Работу
Министерство образования Российской Федерации Шуйский государственный педагогический университет
Выпускная квалификационная работа (дипломная работа) iconМетодические указания выпускная квалификационная работа порядок написания, оформления и защиты москва 2011
Рекомендовано Учебно-методическим советом в качестве методических указаний для студентов сга
Выпускная квалификационная работа (дипломная работа) iconДопустить к защите: " " 2010 г. Зав кафедрой выпускная квалификационная работа муниципальный социум как субъект местного самоуправления
Анапский филиал гоу впо "московский государственный гуманитарный университет им. М. А. Шолохова"
Выпускная квалификационная работа (дипломная работа) iconВыпускная квалификационная работа на тему: региональная культура и история на уроках немецкого языка в средней школе
Целью работы является проследить насколько эффективна передача учащимся иноязычной культуры и истории на региональном уровне, и насколько...
Выпускная квалификационная работа (дипломная работа) iconВыпускная квалификационная работа на тему: региональная культура и история на уроках немецкого языка в средней школе
Целью работы является проследить насколько эффективна передача учащимся иноязычной культуры и истории на региональном уровне, и насколько...
Разместите кнопку на своём сайте:
txt.rushkolnik.ru



База данных защищена авторским правом ©txt.rushkolnik.ru 2012
обратиться к администрации
txt.rushkolnik.ru
Главная страница